レイノルズ数
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4.式の導出
4.2.ナビエ-ストークス方程式
レイノルズ数はナビエ-ストークス方程式(非圧縮性で外力なし)を無次元形に変形することで、方程式を支配する唯一のパラメータとして得ることができる。
 
\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v}



上式中の各項は、体積力(単位体積当たりの力、N/m3)、もしくは同等な表現として、加速度と密度の積(m/s2kg/m3)の単位を持っている。 物理的サイズに直接的によらない形の式を得るため、方程式を無次元化する。
無次元式を得るひとつの方法として次の係数を式全体に掛ける方法がある:
 
 \frac{D}{\rho V^2}


 V \,
 : 平均速度 または 流体との相対速度 (m/s)
 D \,
 : 特性長さ (m)
 \rho \,
 : 流体密度 (kg/m?)
ここで次のように各物理量を無次元化する:  
 \mathbf{v'} = \frac{\mathbf{v}}{V},\quad  p' = \frac{p}{\rho V^2}, \quad  \frac{\partial}{\partial t'} = \frac{D}{V} \frac{\partial}{\partial t}, \quad  \nabla' = D \nabla


するとナビエ-ストークス方程式を次の無次元化された方程式に書き直すことができる。  
\frac{\partial \mathbf{v'}}{\partial t'} + \mathbf{v'} \cdot \nabla' \mathbf{v'} = -\nabla' p' + \frac{\mu}{\rho D V} \nabla'^2 \mathbf{v'}


この式にはパラメータが右辺第2項にしか現れていない。このパラメータを次のように書き換え、レイノルズ数と定義する:  
Re = \frac{\rho D V}{\mu}


最終的に式を読みやすくするためにプライム記号を省略して書き直すと次のようになる。  
\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p + \frac{1}{Re} \nabla^2 \mathbf{v}


この式はパラメータとしてレイノルズ数Re しか持たない。したがって同じレイノルズ数を持ち、かつ境界条件も相似形である流れは数学的に全て同等である。
上記の式でRe → ∞のとき、粘性項が消える。したがって、高レイノルズ数流れはおよそ非粘性の自由流れと同じとなる。
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(4.1.バッキンガムのΠ定理)
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(5.脚注)
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出典:Wikipedia
2017/05/04 06:52
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