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b n = b × × b n  factors {\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n{\text{ factors}}}} ‚Å‚ ‚è¤bn ‚Í b ‚Ì n-æ‚Æ‚©¤n-ŽŸ‚Ì b-™p‚ȂǂƌĂ΂ê‚é¡

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x n = x × × x n   times {\displaystyle x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n\ {\text{times}}}} ‚Å’è‹`‚·‚顁iŒµ–§‚ɂ͍ċA“I‚É’è‹`‚·‚顁j
ã•t‚«‚Ì n ‚ª‘‚¯‚È‚¢ê‡‚Ȃǂɂͤ x^n ‚Æ‚¢‚¤•\‹L‚ð—p‚¢‚邱‚Æ‚ª‘½‚¢¡‚±‚ê‚ð x ‚Ì n-æ‚ ‚é‚¢‚Í x ‚Ì n -æ™p‚ƌĂѤn ‚ð–â‘è‚É‚µ‚È‚¢‚Æ‚«‚Í x ‚̗ݏæ‚â x ‚Ì™p‚ÆŒ¾‚¤¡

‚Ü‚½¤‚±‚ê‚ç‘€ì‚ð¢x ‚Ì n æ (etc.) ‚ðŽæ‚飂ȂǂƏ̂µ¤“Á‚É n ‚ðŒÅ’肵‚Ä x ‚ð“ü—Í‚Æ‚·‚éŠÖ”i“Á‚ÉŽÀ” x ‚Ì”Ÿ”j‚ÆŒ©‚é‚Æ‚«‚ͤ™pŠÖ”‚Æ‚¢‚¤¡x ‚Ì 2æ¤3æ‚Í“Á‚ɤ‚»‚ꂼ‚ê x ‚Ì•½•û (‚Ö‚¢‚Ù‚¤¤ ‰p: square—§•û (‚è‚Á‚Û‚¤¤ ‰p: cube) ‚ƌĂ΂ê¤2æ‚ð“Á‚ÉŽ©æ‚Æ‚¢‚¤ê‡‚à‚ ‚é¡

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xn+1 = xn ~ x   (n ? 1)
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24 = 16
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2−1 = 1/2
2−2 = 1/4
2−3 = 1/8
2−4 = 1/16
‚½‚¾‚µ¤’ꂪ0‚̏ꍇ‚Í¢0‚ÅŠ„‚ê‚È‚¢£‚È‚Ç‚Ì——R‚©‚ç’è‹`‚µ‚È‚¢‚©¤‚ ‚é‚¢‚Í 00 ‚ɂ‚¢‚Ä‚Í 1 ‚Æ’è‹`‚·‚é‚Ì‚ªˆê”Ê“I‚Å‚ ‚é¡

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‚Æ’è‚߂邱‚Æ‚É‚æ‚Á‚Ĥx ‚ð’ê‚Æ‚·‚é™pæ‚ÌŽw”‚ð—L—”‚͈̔͂܂Ŋg’£‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡
‚±‚Ì‚Æ‚«¤Žw”–@‘¥‚ƌĂ΂ê‚éˆÈ‰º‚ÌŠÖŒWŽ®‚ª¬‚è—§‚¡

xr+s = xr ~ xs
xr~s = (xr)s
‚±‚±‚Ťr ‚Æ s ‚ͤ™p‚ª’è‹`‚Å‚«‚é”͈̗͂L—”‚Å‚ ‚顂‚܂è¤x ‚ª‹tŒ³‚ð‚à‚½‚È‚¢‚Ȃ玩‘R”¤‹tŒ³‚Í‚à‚‚ª™pª‚ð‚à‚½‚È‚¢‚Ȃ琮”¤m æª‚ð‚à‚‚ª‹tŒ³‚ð‚à‚½‚È‚¢‚È‚ç‚Î m ‚𕪕ê‚Æ‚·‚鐳‚Ì—L—”¤‹tŒ³‚à m æª‚à‚à‚‚Ȃç‚Î m ‚𕪕ê‚Æ‚·‚é—L—”‚Å‚ ‚é¡

ŽÀ”æ™p[•ÒW]

x ‚ª³‚ÌŽÀ”‚Å‚ ‚ê‚ԏã‚Ő§ŒÀ‚³‚ê‚Ä‚¢‚½Žw”‚Ö‚ÌðŒ‚ÍŠO‚ê‚é¡
‚È‚º‚Ȃ礐³”‚Å‚ ‚ê‚ΔCˆÓ‚ÌŽ©‘R” m ‚ɑ΂·‚鐳‚Ì m æª mãx ‚ª‚½‚¾ˆê‚‚¾‚¯‘¶Ý‚·‚é‚©‚礐³‚Ì—L—” n/m ‚ɑ΂µ

x n / m = ( x m ) n = x n m {\displaystyle x^{n/m}={\bigl (}{\sqrt[{m}]{x}}{\bigr )}^{n}={\sqrt[{m}]{x^{n}}}} ‚Æ’è‚߂邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚邵¤‚³‚ç‚É x ‚ª 0 ‚Å‚È‚¯‚ê‚΋tŒ³‚ª‘¶Ý‚·‚é‚̂ŤŽw”‚Í—L—”‘S‘Ì‚Ü‚ÅŠg’£‚³‚ê‚é¡

‚³‚Ĥx (>0) ‚Ì™p‚Í‚»‚ÌŽw”‚ÉŠÖ‚µ‚Ä‹ÉŒÀ‚ðŽæ‚邱‚Æ‚É‚æ‚褎À”ã‚̊֐”‚ÉŠg’£‚³‚ê˜A‘±ŠÖ”‚ɂȂ願A‘±‚ÈŠg’£‚͈êˆÓ‚Å‚ ‚褂±‚ê‚ð x ‚ð’ê‚Æ‚·‚éŽw”ŠÖ”‚ƌĂԡ

•¡‘f”æ™p[•ÒW]

•¡‘f” z ‚ɑ΂µ¤”Ÿ” exp ‚ð‹‰”

exp ( z ) := n = 0 z n n ! {\displaystyle \exp(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} ‚É‚æ‚Á‚Ä’è‚ß‚é¡‚±‚Ì‹‰”‚Í”CˆÓ‚Ì•¡‘f” z ‚ɑ΂µ‚ÄŽû‘©‚·‚é¡“Á‚É exp(1) =: e ‚ÍŽ©‘R‘ΐ”‚Ì’ê‚É“™‚µ‚­¤”CˆÓ‚ÌŽÀ” x ‚ɑ΂µ‚Ä exp(x) = exi‰E•Ó‚ÍŽÀ” e ‚ÌŽÀ” x æ‚̈Ӂj‚Å‚ ‚éi‚»‚ê‚䂦”CˆÓ‚Ì•¡‘f”‚ɑ΂µ‚Ä ez := exp(z) ‚Æ‚à‘‚©‚ê‚é[’Žß 4]j¡z := x + iy ix, y ‚ÍŽÀ”j‚Æ•\‚·‚Ƥ

exp ( x + i y ) = e x ( cos y + i sin y ) = exp ( x ) cis ( y ) {\displaystyle \exp(x+iy)=e^{x}(\cos y+i\sin y)=\exp(x)\operatorname {cis} (y)} ‚ª¬‚è—§‚icis ‚͏ƒ‹•Žw””Ÿ”j¡“Á‚É eiy = cos(y) + i⋅sin(y) ‚͵²×°‚ÌŒöŽ®‚ƌĂ΂ê‚éŠÖŒWŽ®‚Å‚ ‚é¡

‚³‚ç‚ɤ‚±‚̊֐”‚Ì¢‹tŠÖ”£‚ð log ‚Ə‘‚¯‚Τˆê”Ê‚Ì•¡‘f” w ‚ 0 ‚ɑ΂µ

w z := e z log w {\displaystyle w^{z}:=e^{z\log w}} ‚Æ’è‹`‚³‚ê‚é¡‚±‚ê‚Í log ‚ª‘½‰¿ŠÖ”‚Å‚ ‚邽‚߈ê”Ê‚É‚Í’l‚ª 1 ‚‚ɂ͒è‚Ü‚ç‚È‚¢¡‚½‚¾‚µ¤w = e ‚̏ꍇ‚ɂͤã‚É™p‹‰”‚Å’è‹`‚µ‚½•û‚̈Ӗ¡‚Å—p‚¢‚é‚Ì‚ª•’Ê‚Å‚ ‚é¡

«Ž¿[•ÒW]

™p‰‰ŽZ‚͉Š·‚Å‚È‚¢i‚½‚Æ‚¦‚Î 23 = 8 ≠ 9 = 32j¡‚Ü‚½Œ‹‡“I‚Å‚È‚¢i‚½‚Æ‚¦‚Î (31)3 = 27 ≠ 3 = 3(13)j¡
Š‡ŒÊ‚ð—p‚¢‚¸‚É abc ‚Ə‘‚¢‚½‚Æ‚«‚ɂͤ‚±‚ê‚͂ӂ‚¤ a(bc) ‚ðˆÓ–¡‚·‚é¡‚·‚È‚í‚¿™p‰‰ŽZ‚͉EŒ‹‡“I‚Å‚ ‚éi‚±‚ê‚Í—Dæ‡ˆÊiprecedence, ‰‰ŽZŽq‚Ì—Dæ‡ˆÊj‚Å‚Í‚È‚­¤‰‰ŽZŽq‚ÌŒ‹‡«iassociativity, en:Operator associativityj‚Ì‚±‚Æ‚Å‚ ‚éj¡

Žw”–@‘¥[•ÒW]

ˆÈ‰º‚̈ꗗ•\‚É‚¨‚¢‚Ä‘½d’è‹`‚Ì‹ñ‚ðœ‚­‚½‚ߤ’ê‚Í”ñ—ëŽÀ”‚Å‚ ‚é‚悤‚È™p‚Ì‚Ý‚ðl‚¦‚é¡‚½‚¾‚µ¤³‚Ì™p‚Ì‚Ý‚ðl‚¦‚é‚È‚ç‚Τ’ꂪ 0 ‚Å‚àŠe–@‘¥‚͐¬‚è—§‚¡‚Ü‚½ˆÈ‰º‚̈ꗗ‚É‚¨‚¢‚Ĥ—L—”‚ɂ‚¢‚Ä•ª•ê‚ªŠï”‚ ‚é‚¢‚Í‹ô”‚Å‚ ‚é‚Æ‚¢‚¤‚Æ‚«‚ͤí‚É‚»‚Ì—L—”‚ÌŠù–ñ•ª”•\Ž¦‚É‚¨‚¯‚镪•ê‚Ì‚±‚Æ‚ðŒ¾‚Á‚Ä‚¢‚é‚à‚Ì‚Æ‚·‚é¡

™pŽw” r, s ‚̏­‚È‚­‚Æ‚àˆê•û‚ª–³—”‚Å‚ ‚é‚Æ‚«¤‚ ‚é‚¢‚Í‚±‚ê‚ç‚Ì‘o•û‚ª—L—”‚¾‚ª r ‚Ü‚½‚Í r  • s ‚̏­‚È‚­‚Æ‚àˆê•û‚Ì•ª•ê‚ª‹ô”‚Æ‚È‚é‚Æ‚«‚ɂͤa < 0 ‚ɑ΂·‚é (ar)s ‚Ü‚½‚Í ar • s ‚Í’è‹`‚³‚ê‚È‚¢¡‚»‚êˆÈŠO‚Ì‚Æ‚«¤‚±‚Ì—¼ŽÒ‚Í’è‹`‚³‚ê‚Ä•„†‚̈Ⴂ‚ðœ‚¢‚Ĉê’v‚·‚é¡“Á‚É—¼ŽÒ‚Í a > 0 ‚È‚ç‚ΔCˆÓ‚ÌŽÀ” r, s ‚ɑ΂µ‚Ĉê’v‚µ¤‚Ü‚½ a ≠ 0 ‚È‚ç‚ΔCˆÓ‚̐®” r, s ‚ɑ΂µ‚Ĉê’v‚·‚é¡
a < 0 ‚©‚ r, s ‚ª®”‚Å‚È‚¢—L—”‚Å‚ ‚é‚Æ‚«‚ɂ͉”\«‚Í“ñ’Ê‚èl‚¦‚ç‚꤂ǂ¿‚ç‚É‚È‚é‚©‚Í r ‚Ì•ªŽq‚Æ s ‚Ì•ª•ê‚Ì‘fˆö”•ª‰ð‚ªŠÖŒW‚·‚é¡Ž® (ar)s = ±ar • s ‚̉E•Ó‚Ì•„†‚͉½‚ꂪ³‚µ‚¢‚Ì‚©‚ð’m‚é‚É‚Í a = −1 ‚Ì‚Æ‚«‚ðŒ©‚ê‚Ώ\•ª‚Å‚ ‚éi—^‚¦‚ç‚ꂽ r, s ‚ɑ΂µ‚Ä a = −1 ‚Ì‚Æ‚«³‚µ‚­‚È‚é•û‚Ì•„†‚ð‚Æ‚ê‚Τ”CˆÓ‚Ì a < 0 ‚ɂ‚¢‚Ä‚à¬‚è—§‚j¡
a < 0 ‚ɑ΂µ‚Ä (ar)s = −ar • s ‚ª“K—p‚³‚ê‚é‚È‚ç‚Τa ≠ 0 ‚ɑ΂µ‚Ä (ar)s = |a|r • s ‚ª¬‚è—§‚i™pŽw”‚ª³‚È‚ç‚Î a = 0 ‚Ì‚Æ‚«‚à¬‚è—§‚j¡
—Ⴆ‚Τ((−1)2)12 = 1 ‚¨‚æ‚Ñ (−1)2 • 12 = −1 ‚Å‚ ‚é‚©‚ç¤a < 0 ‚ɑ΂µ‚Ä a2 = (a2)12 = −a2 • 12 = −a, ‚µ‚½‚ª‚Á‚Ä”CˆÓ‚ÌŽÀ” a ‚ɑ΂µ‚Ä a2 = |a| ‚ª¬‚è—§‚¡

Žw”¥‘ΐ”–@‘¥‚Ì•s¬—§[•ÒW]

³‚ÌŽÀ”‚ɑ΂·‚é™p‚¨‚æ‚ёΐ”‚ÉŠÖ‚·‚é“™Ž®‚Ì‚¢‚­‚‚©‚ͤ•¡‘f”™p‚â•¡‘f‘ΐ”‚ª‚ǂ̂悤‚Ɉꉿ”Ÿ”‚Æ‚µ‚Ä’è‹`‚³‚ê‚悤‚Ƃक¡‘f”‚ɑ΂µ‚Ă͐¬‚è—§‚½‚È‚¢‚±‚Æ‚ª‹N‚±‚é¡

  1. “™Ž® log(bx) = x⋅log(b) ‚Í b ‚ª³‚ÌŽÀ”‚Å x ‚ªŽÀ”‚Ì‚Æ‚«‚É‚Í‚¢‚Â‚Å‚à¬‚è—§‚¡‚µ‚©‚µ¤•¡‘f‘ΐ”‚ÌŽåŽ}i‰pŒê”Łj‚ɑ΂µ‚Ä i π = log ( 1 ) = log [ ( i ) 2 ] 2 log ( i ) = 2 ( i π 2 ) = i π {\displaystyle i\pi =\log(-1)=\log \left[(-i)^{2}\right]\neq 2\log(-i)=2\left(-{\frac {i\pi }{2}}\right)=-i\pi } ‚Í”½—á‚É‚È‚é¡•¡‘f‘ΐ”‚Ì‚Ç‚ÌŽ}‚ð—p‚¢‚½‚©‚ÉŠÖ‚í‚炸¤‚±‚Ì“™Ž®‚É‚Í“¯—l‚Ì”½—Ⴊ‘¶Ý‚·‚顁i‚±‚ÌŒ‹‰Ê‚Ì‚Ý‚ðŽg‚¤‚à‚Ì‚Æ‚·‚ê‚΁j

    log ( w z ) z log ( w ) ( mod 2 π i ) {\displaystyle \log(w^{z})\equiv z\cdot \log(w){\pmod {2\pi i}}} ‚Å‚ ‚é‚Æ‚Ü‚Å‚µ‚©Œ¾‚¦‚È‚¢¡

    ‚±‚Ì“™Ž®‚Í log ‚𑽉¿”Ÿ”‚ƍl‚¦‚é‚Æ‚«‚Å‚³‚¦¬‚è—§‚½‚È‚¢¡log(wz) ‚ÌŽæ‚蓾‚é’l‚Í z⋅log(w) ‚ÌŽæ‚蓾‚é’l‚ð•”•ªW‡‚Æ‚µ‚ÄŠÜ‚Þ¡log(w) ‚ÌŽå’l‚ð Log(w) ‚Æ‚µ¤m, n ‚ð”CˆÓ‚̐®”‚Æ‚·‚é‚Ƥ—¼•Ó‚ÌŽæ‚蓾‚é’l‚Í

    { log ( w z ) } = { z Log ( w ) + z 2 π i n + 2 π i m } {\displaystyle \{\log(w^{z})\}=\{z\cdot \operatorname {Log} (w)+z\cdot 2\pi in+2\pi im\}} ‚Å‚ ‚é¡
  2. “™Ž® (bc)x = bx⋅cx ‚¨‚æ‚Ñ (b/c)x = bx/cx ‚Í x ‚ªŽÀ”‚Å‚³‚ç‚É b ‚Æ c ‚ª³‚ÌŽÀ”‚È‚ç‚ΐ¬‚è—§‚¡‚µ‚©‚µŽåŽ}‚ð—p‚¢‚½ŒvŽZ‚Å 1 = ( ( 1 ) ( 1 ) ) 1 2 ( 1 ) 1 2 ( 1 ) 1 2 = 1 {\displaystyle 1=((-1)(-1))^{\frac {1}{2}}\neq (-1)^{\frac {1}{2}}(-1)^{\frac {1}{2}}=-1} ‚¨‚æ‚Ñ i = ( 1 ) 1 2 = ( 1 1 ) 1 2 1 1 2 ( 1 ) 1 2 = 1 i = i {\displaystyle i=(-1)^{\frac {1}{2}}=\left({\frac {1}{-1}}\right)^{\frac {1}{2}}\neq {\frac {1^{\frac {1}{2}}}{(-1)^{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{i}}=-i} ‚ª”½—á‚Æ‚µ‚ÄŽ¦‚³‚ê‚é¡‘¼•û¤x ‚ª®”‚Ì‚Æ‚«‚É‚Í”CˆÓ‚Ì”ñ—ë•¡‘f”‚ɑ΂µ‚Ь‚è—§‚¡•¡‘f”™p‚𑽉¿”Ÿ”‚Æ‚µ‚čl‚¦‚ê‚Τ((−1)(−1))1/2 ‚ÌŽæ‚蓾‚é’l‚Í {1, −1} ‚Ť“™Ž®‚͐¬‚è—§‚‚ª {1} = {((−1)(−1))1/2} ‚ÆŒ¾‚¤‚±‚Æ‚ÍŠÔˆá‚Á‚Ä‚¢‚é¡
  3. “™Ž® (ex)y = exy ‚Í x ‚Æ y ‚ªŽÀ”‚Å‚ ‚é‚Æ‚«‚ɂ͐¬‚è—§‚‚ª¤”CˆÓ‚Ì•¡‘f”‚ɑ΂µ‚Đ³‚µ‚¢‚Ɖ¼’è‚·‚é‚ƤClausen et al. (1827)[14]‚Ì”­Œ©‚µ‚½
    ”CˆÓ‚̐®” n ‚ɑ΂µ‚Ĥ e 1 + 2 π i n = e 1 e 2 π i n = e 1 = e {\displaystyle e^{1+2\pi in}=e^{1}e^{2\pi in}=e\cdot 1=e}
‚𓾂邪¤‚±‚ê‚Í n ‚ª 0 ‚Å‚È‚¢‚Æ‚«Œë‚è‚Å‚ ‚é¡
‚Æ‚¢‚¤•s‡—‚ª¶‚¶‚é¡‚±‚̐„˜_‚É‚Í‚¢‚­‚‚à–â‘肪‚ ‚é:

Žå‚ÈŒë‚è‚ͤ“ñs–Ú‚©‚çŽOs–ڂɍs‚­‚Æ‚«‚É™p‚̏‡”Ô‚ð•Ï‚¦‚邱‚Æ‚Å‘I‚΂ê‚éŽå’l‚ª•Ï‚í‚邱‚Æ‚Å‚ ‚é¡
‘½‰¿”Ÿ”‚ÌŽ‹“_‚©‚猩‚é‚ƤÅ‰‚ÌŒë‚è‚͍X‚É‘‚­‹N‚«‚Ä‚¢‚顈ês–Ú‚ÅˆÃ‚É e ‚ÍŽÀ”‚Æ‚µ‚Ä‚¢‚é‚É‚àS‚炸¤e1+2πin ‚ÌŒ‹‰Ê‚Í•¡‘f”‚Å‚ ‚è¤e + 0i ‚Ə‘‚¢‚½‚Ù‚¤‚ª‚æ‚¢¡“ñs–Ú‚ðŽÀ”‚Å‚Í‚È‚­‚±‚Ì•¡‘f”‚Å’u‚«Š·‚¦‚邱‚ƂŤ‚»‚±‚Å‚Ì™p‚ªŽæ‚ê‚é’l‚𕡐”Ž‚‚悤‚É‚È‚é¡“ñs–Ú‚©‚çŽOs–Ú‚ÅŽw”‚̏‡”Ô‚ð•Ï‚¦‚½‚±‚Ƃऎæ‚肤‚é’l‚̐”‚ɉe‹¿‚ð‹y‚Ú‚·¡(ez)wezw ‚¾‚ª¤®” n ‚ɂ킽‚Á‚Ä‘½‰¿‚ȈӖ¡‚Å (ez)w = e(z+2πin)w ‚Æ‚µ‚½‚Ù‚¤‚ª‚æ‚¢¡

ˆê”ʉ»[•ÒW]

ÓɲÄނɂ¨‚¯‚é™p[•ÒW]

™p‰‰ŽZ‚Í”CˆÓ‚ÌÓɲÄނɂ¨‚¢‚Ä’è‹`‚Å‚«‚é[15]¡ÓɲÄނ͒PˆÊŒ³‚ðŽ‚Â”¼ŒQ¤‚·‚È‚í‚¿“K“–‚ȏW‡ X ‚ð‘ä‚Æ‚µ‚臐¬‚ ‚é‚¢‚͏æ–@‚ƌĂ΂ê‚é“ñ€‰‰ŽZ‚ª’è‹`‚³‚ê‚é‘㐔Œn‚Å‚ ‚Á‚Ĥ‚»‚̏æ–@‚ªŒ‹‡–@‘¥‚ð–ž‘«‚µ¤‚©‚æ–@’PˆÊŒ³ 1X ‚ðŽ‚Â‚à‚Ì‚ðŒ¾‚¤¡ÓɲÄނɂ¨‚¯‚鎩‘R”™p‚Í

‚Æ‚µ‚Ä‹A”[“I‚É’è‹`‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚éiæ‚ÌŽ®‚̉E•Ói‚Ì 1j‚Í X ‚Ì’PˆÊŒ³¤Œã‚ÌŽ®‚̍¶•Ó‚Ì 1 ‚ÍŽ©‘R”‚Ì 1 ‚Ť“–‘R‚¾‚ª‚±‚ê‚ç‚݂͌¢‚É•Ê‚Ì‚à‚Ì‚Å‚ ‚éj¡“Á‚ɐæ‚ÌŽ®i—ëæ‚·‚邱‚Ɓj‚Í¢’PˆÊŒ³‚ðŽ‚Â£‚±‚Æ‚É‚æ‚Á‚߂ĈӖ¡‚𐬂·‹K–ñ‚Å‚ ‚邱‚Æ‚É’ˆÓ‚·‚ׂ«‚Å‚ ‚éi‹óÏ‚àŽQÆ‚Ì‚±‚Ɓj¡

ÓɲÄނ̗á‚É‚ÍŒQ‚âŠÂi‚̏æ–@ÓɲÄށj‚̂悤‚Ȑ”Šw“I‚ɏd—v‚È‘½‚­‚̍\‘¢‚ªŠÜ‚܂꤂܂½‚æ‚è“Á’è‚Ì—á‚Æ‚µ‚čs—ñŠÂ‚â‘̂̏ꍇ‚ɂ‚¢‚ÄŒãq‚·‚é¡

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³•ûs—ñ A ‚ɑ΂µ‚Ä A Ž©g‚Ì n ŒÂ‚̐ςðs—ñ‚Ì™p‚ƌĂԡ‚Ü‚½ A0 ‚Í’PˆÊs—ñ‚É“™‚µ‚¢‚à‚Ì‚Æ’è‹`‚³‚ê[16]¤‚³‚ç‚É A ‚ª‰Â‹t‚È‚ç‚Î An := (A−1)n ‚Æ’è‹`‚·‚é¡

s—ñ‚Ì™p‚Í—£ŽU—ÍŠwŒni‰pŒê”Łj‚Ì•¶–¬‚Å‚µ‚΂µ‚ÎŒ»‚ê‚é¡‚»‚±‚ł͍s—ñ A ‚Í“K“–‚ÈŒn‚̏ó‘ÔÍÞ¸ÄÙ x ‚ðŽŸ‚Ìó‘Ô Ax ‚Ö‘JˆÚ‚³‚¹‚邱‚Æ‚ð•\‚·[17]¡‚±‚ê‚͗Ⴆ‚ÎÏٺ̘A½‚Ì•W€“I‚ȉðŽß‚Å‚ ‚é¡‚±‚ê‚É‚æ‚è¤A2x ‚Í“ñ’iŠKŒã‚ÌŒn‚̏ó‘Ô‚Å‚ ‚褈ȉº“¯—l‚É Anx ‚Í n ’iŠKŒã‚ÌŒn‚̏ó‘Ô‚Æ—‰ð‚³‚ê‚顂‚܂ès—ñ‚Ì™p An ‚ÍŒ»Ý‚Æ n ’iŠKŒã‚̏ó‘Ô‚ÌŠÔ‚Ì‘JˆÚs—ñ‚Å‚ ‚Á‚Ĥs—ñ‚Ì™p‚ðŒvŽZ‚·‚邱‚Æ‚Í‚±‚Ì—ÍŠwŒn‚Ì”­“W‚ð‰ð‚­‚±‚Æ‚É“™‚µ‚¢¡•Ö‹Xã¤‘½‚­‚̏ꍇ‚É‚¨‚¢‚čs—ñ‚Ì™p‚͌ŗL’l‚ƌŗLÍÞ¸Äقð—p‚¢‚ÄŒvŽZ‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡

s—ñ‚𗣂ê‚Ä‚æ‚èˆê”ʂ̐üŒ^ì—p‘f‚É‚à™p‰‰ŽZ‚Í’è‚ß‚ç‚ê‚顗Ⴆ‚Δ÷•ªÏ•ªŠw‚É‚¨‚¯‚é”÷•ª‰‰ŽZ d / dx ‚Í”Ÿ” f ‚ɍì—p‚µ‚Ä•Ê‚Ì”Ÿ” df / dx = f' ‚ð—^‚¦‚éüŒ^ì—p‘f‚Å‚ ‚褂±‚̍ì—p‘f‚Ì n-æ‚Í n-ŠK”÷•ª

( d d x ) n f ( x ) = d n d x n f ( x ) = f ( n ) ( x ) {\displaystyle {\Bigl (}{\frac {d}{dx}}{\Big )}^{\!n}f(x)={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)=f^{(n)}(x)} ‚Å‚ ‚é¡‚±‚ê‚͐üŒ^ì—p‘f‚Ì—£ŽU“I‚È™p‚Ì—á‚Å‚ ‚邪¤ì—p‘f‚̘A‘±“I‚È™p‚ª’è‹`‚Å‚«‚½‚Ù‚¤‚ª‚æ‚¢ê–Ê‚ª‘½‚­‘¶Ý‚·‚é¡C0-”¼ŒQ‚̐”Šw“I—˜_‚Í‚±‚̂悤‚ÈŽ–î‚ðo”­“_‚Æ‚µ‚Ä‚¢‚é[18]¡—£ŽU™pŽw”‚ɑ΂·‚és—ñ‚Ì™p‚ÌŒvŽZ‚ª—£ŽU—ÍŠwŒn‚ð‰ð‚­‚±‚Æ‚Å‚ ‚Á‚½‚Ì‚Æ“¯—l‚ɤ˜A‘±™pŽw”‚ɑ΂·‚éì—p‘f‚Ì™p‚ÌŒvŽZ‚͘A‘±—ÍŠwŒn‚ð‰ð‚­‚±‚Æ‚É“™‚µ‚¢¡‚»‚¤‚¢‚Á‚½—á‚Æ‚µ‚Ä”M•û’öŽ®¤¼­Ú°Ãިݶް•û’öŽ®¤”g“®•û’öŽ®‚ ‚é‚¢‚Í‚à‚Á‚Æ‚Ù‚©‚ÌŽžŠÔ”­“W‚ðŠÜ‚ޕΔ÷•ª•û’öŽ®‚ð‹“‚°‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡‚±‚̂悤‚È™p‰‰ŽZ‚Ì“Á•Ê‚̏ꍇ‚Æ‚µ‚Ĥ”÷•ª‰‰ŽZ‚Ì”ñ®”æ‚Í•ª”ŠK”÷•ª‚ƌĂ΂ꤕª”ŠKÏ•ªi‰pŒê”Łj‚Æ‚Æ‚à‚ɤ•ª”ŠK”÷•ªÏ•ªŠw‚ÌŠî–{‰‰ŽZ‚̈ê‚‚ƂȂÁ‚Ä‚¢‚é¡

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—LŒÀ‘Ì‚É‚¨‚¯‚é™p‰‰ŽZ‚ÍŒöŠJŒ®ˆÃ†‚ɉž—p‚ðŽ‚Â¡—Ⴆ‚ÎÃި̨°¥ÍÙÏ݌®ŒðŠ·‚ͤ—LŒÀ‘Ì‚É‚¨‚¯‚é™p‚ÍŒvŽZ—Ê“I‚ɺ½Ä‚ªŠ|‚©‚ç‚È‚¢‚̂ɑ΂µ¤™p‚Ì‹t‚Å‚ ‚é—£ŽU‘ΐ”‚ÍŒvŽZ—Ê“I‚ɺ½Ä‚ªŠ|‚©‚é‚Æ‚¢‚¤Ž–ŽÀ‚ð—p‚¢‚Ä‚¢‚é¡

”CˆÓ‚Ì—LŒÀ‘Ì F ‚ͤ‘f” p ‚ª‚½‚¾ˆê‚‘¶Ý‚µ‚Ĥ”CˆÓ‚Ì xF ‚ɑ΂µ‚Ä px = 0 ‚ª¬‚è—§‚ix ‚ð p ŒÂ‰Á‚¦‚ê‚Ηë‚É‚È‚éj‚Æ‚¢‚¤«Ž¿‚ðŽ‚Â¡—Ⴆ‚ΓñŒ³‘Ì F2 ‚Å‚Í p = 2 ‚Å‚ ‚é¡‚±‚Ì‘f” p ‚Í‚»‚Ì‘Ì‚Ì•W”‚ƌĂ΂ê‚é¡F ‚ð•W” p ‚Ì‘Ì‚Æ‚µ‚Ä F ‚ÌŠeŒ³‚ð p-æ‚·‚éŽÊ‘œ f(x) = xp ‚ðl‚¦‚é¡‚±‚ê‚Í F ‚ÌÌÛÍÞÆ­°½Ž©ŒÈ€“¯Œ^‚ƌĂ΂ê‚顐V“ü¶‚Ì–²i‰pŒê”Łji—c’t‚È“ñ€’藝j‚Æ‚àŒÄ‚΂ê‚é“™Ž® (x + y)p = xp + yp ‚ª‚±‚Ì‘Ì‚É‚¨‚¢‚Ă͐¬‚è—§‚‚½‚ߤÌÛÍÞÆ­°½Ž©ŒÈ€“¯Œ^‚ªŽÀÛ‚É‘Ì‚ÌŽ©ŒÈ€“¯Œ^‚ð—^‚¦‚é‚à‚Ì‚Å‚ ‚邱‚Æ‚ªŠm”F‚Å‚«‚é¡ÌÛÍÞÆ­°½Ž©ŒÈ€“¯Œ^‚Í F ‚Ì‘f‘̏ã‚̶ÞÛ܌Q‚̐¶¬Œ³‚Å‚ ‚邽‚ߐ”˜_‚É‚¨‚¢‚ďd—v‚Å‚ ‚é¡

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™pŽw”‚ª®”‚Å‚ ‚é‚悤‚È™p‰‰ŽZ‚Í’ŠÛ‘㐔Šw‚É‚¨‚¯‚é‹É‚߂Ĉê”ʂ̍\‘¢‚ɑ΂µ‚Ä’è‹`‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡

W‡ X ‚͏æ–@“I‚ɏ‘‚©‚ꂽ™pŒ‹‡“Ii‰pŒê”Łj“ñ€‰‰ŽZ‚ðŽ‚Â‚à‚Ì:

( x i x j ) x k = x i ( x j x k ) ( x X ) {\displaystyle (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k})\quad (\forall x\in X)} ‚Æ‚·‚é‚Æ‚«¤”CˆÓ‚Ì xX ‚Æ”CˆÓ‚ÌŽ©‘R” n ‚ɑ΂µ‚Ä™p xn ‚ͤx ‚Ì n ŒÂ‚̺Ëß°‚̐ςð•\‚·‚à‚Ì‚Æ‚µ‚Ä

x 1 = x x n = x n 1 x ( n > 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x^{1}&=x\\x^{n}&=x^{n-1}x\quad (n>1)\end{aligned}}} ‚̂悤‚É‹A”[“I‚É’è‹`‚³‚ê‚é¡‚±‚ê‚͈ȉº‚̂悤‚Ȑ«Ž¿

x m + n = x m x n ( x m ) n = x m n {\displaystyle {\begin{aligned}x^{m+n}&=x^{m}x^{n}\\(x^{m})^{n}&=x^{mn}\end{aligned}}} ‚ð–ž‘«‚·‚é¡‚³‚ç‚ɤl‚¦‚Ä‚¢‚鉉ŽZ‚ª—¼‘¤’PˆÊŒ³ 1 ‚ðŽ‚Â:

! 1  s.t.  x 1 = 1 x = x ( x X ) {\displaystyle \exists !1{\text{ s.t. }}x1=1x=x\quad (\forall x\in X)} ‚È‚ç‚Î x0 ‚Í”CˆÓ‚Ì x ‚ɑ΂µ‚Ä 1 ‚É“™‚µ‚¢‚à‚Ì‚Æ’è‹`‚·‚é¡

‚³‚ç‚É‚Ü‚½‰‰ŽZ‚ª—¼‘¤‹tŒ³‚ðŽ‚¿¤‚È‚¨‚©‚ÂŒ‹‡“I

x x 1 = x 1 x = 1 , ( x y ) z = x ( y z ) {\displaystyle {\begin{aligned}xx^{-1}&=x^{-1}x=1,\\(xy)z&=x(yz)\end{aligned}}} ‚È‚ç‚ÎϸÞÏ X ‚ÍŒQ‚𐬂·¡‚±‚Ì‚Æ‚« x ‚Ì‹tŒ³‚ð x|1 ‚Ə‘‚¯‚Τ™p‰‰ŽZ‚ÉŠÖ‚·‚é’ʏí‚Ì‹K‘¥

x n = ( x 1 ) n x m n = x m x n {\displaystyle {\begin{aligned}x^{-n}&=\left(x^{-1}\right)^{n}\\x^{m-n}&=x^{m}x^{-n}\end{aligned}}} ‚Í‚·‚ׂĖž‘«‚³‚ê‚é¡‚Ü‚½i—Ⴆ‚α°ÍÞٌQ‚̂悤‚Ɂjæ–@‰‰ŽZ‚ª‰ÂŠ·‚È‚ç‚Î

( x y ) n = x n y n {\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}} ‚à–ž‘«‚³‚ê‚顁i±°ÍÞٌQ‚ª’ʏ킻‚¤‚Å‚ ‚é‚悤‚Ɂj“ñ€‰‰ŽZ‚ð‰Á–@“I‚ɏ‘‚­‚È‚ç‚Τ¢™p‰‰ŽZ‚͗ݏæi”½•œæ–@j‚Å‚ ‚飂Ƃ¢‚¤Žå’£‚Í¢æ–@‚͗݉Ái”½•œ‰Á–@j‚Å‚ ‚飂Ƃ¢‚¤Žå’£‚Ɉø‚«ŽÊ‚³‚ꤊeŽw”–@‘¥‚͑Ήž‚·‚éæ–@–@‘¥‚Ɉø‚«ŽÊ‚³‚ê‚é¡

ˆê‚‚̏W‡ã‚É•¡”‚Ì™pŒ‹‡“I‚ɍ€‰‰ŽZ‚ª’è‹`‚³‚ê‚é‚Æ‚«‚ɂͤŠe‰‰ŽZ‚ÉŠÖ‚µ‚Ä”½•œ‚É‚æ‚é™p‰‰ŽZ‚ðl‚¦‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é‚©‚礂ǂê‚ÉŠÖ‚·‚é™p‚©‚𖾎¦‚·‚邽‚߂ɏã•t‚«“YŽš‚É”½•œ‚µ‚½‚¢‰‰ŽZ‚ð•\‚·‹L†‚𕹒u‚·‚é•û–@‚ª‚æ‚­—p‚¢‚ç‚ê‚顂‚܂艉ŽZ ? ‚¨‚æ‚Ñ # ‚ª’è‹`‚³‚ê‚é‚Æ‚«¤x?n ‚Ə‘‚¯‚Î x ? ? ? x ‚ðˆÓ–¡‚µ¤x#n ‚Ə‘‚¯‚Î x # ? # x ‚ðˆÓ–¡‚·‚é‚Æ‚¢‚¤‹ï‡‚Å‚ ‚é¡

ã•t‚«“YŽš‹L–@‚ͤ“Á‚ÉŒQ˜_‚É‚¨‚¢‚Ĥ‹¤çb•ÏŠ·‚ð•\‚·‚Ì‚É‚à—p‚¢‚ç‚ê‚éi‘¦‚¿¤g, h ‚ð“K“–‚ÈŒQ‚ÌŒ³‚Æ‚µ‚Ä gh = h|1ghj¡‚±‚Ì‹¤çb•ÏŠ·‚ÍŽw”–@‘¥‚Æ“¯—l‚̐«Ž¿‚ðˆê•”–ž‘«‚·‚邯‚ê‚ǂं±‚ê‚Í‚¢‚©‚È‚éˆÓ–¡‚É‚¨‚¢‚Ä‚à”½•œæ–@‚Æ‚µ‚Ä‚Ì™p‰‰ŽZ‚Ì—á‚Å‚Í‚È‚¢¡¶ÝÄÞق͂±‚ê‚狤çb•ÏŠ·‚̐«Ž¿‚ª’†S“I‚È–ðŠ„‚ð‰Ê‚½‚·‘㐔“I\‘¢‚Å‚ ‚é¡

W‡‚Ì™p[•ÒW]

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  • Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  • Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg ("Norimberga"), (Germany): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Book 3), Caput III (Chapter 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (On algorithms of algebra.), page 236. Stifel was trying to conveniently represent the terms of geometric progressions. He devised a cumbersome notation for doing that. On page 236, he presented the notation for the first eight terms of a geometric progression (using 1 as a base) and then he wrote: "Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossic?, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1? habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem su? denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam." (However, you see how each term of the progression has its exponent in its order (as 1ze has a 1, 1? has a 2, etc.), so each number is implicitly subject to the exponent of its denomination, which [in turn] is subject to it and is useful mainly in multiplication and division, as I will mention just below.) [Note: Most of Stifel's cumbersome symbols were taken from Christoff Rudolff, who in turn took them from Leonardo Fibonacci's Liber Abaci (1202), where they served as shorthand symbols for the Latin words res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]

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Weisstein, Eric W. "Exponentiation". MathWorldi‰pŒêj.
exponentiation in nLab
exponentiation - PlanetMath.i‰pŒêj
o“T:Wikipedia
2020/03/12 19:00
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2020/03/29 XV
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