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有理数
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概要
有理数(ゆうりすう、: rational number) とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a/b という分数で表せるのことをいう。b = 1 とすることにより、任意の整数は有理数として扱うことができる。
有理数を十進法などの位取り記数法を用いて小数表示した場合、どの有理数も位取りの基数のとり方に関わらず有限小数または循環小数のいずれかとなる(もちろん、ある基数で表示したとき有限小数となる有理数が、別の基数では循環小数となったりすること、あるいはその逆になることはある)。同様に、有理数は必ず有限正則連分数展開を持つ。
有理数全体のつくる集合はしばしば、太字の Q で表す。これは最初にイタリア人数学者ペアノによって1895年に「」(: quotient)を意味するイタリア語: quoziente に因んで表記された[1]。手書きするときなどには Q に縦棒を一本加えた文字にするため、書籍等で黒板太字と言われる書体で を使うこともある。すなわち、
である(ただし、Z は全ての整数からなる集合を表す)。ここで、各個の有理数に対して、それをあらわす分数 a/b は一般に複数(しかも無数に)存在することは留意すべき事実である。通常は個々の文脈に適した形を選んで利用する。すなわち厳密に言えば、分数 a/b は整数 a, b の組の属する同値類(の代表元)を表しているのであり(形式的な構成節参照)、有理数全体の成す集合 Q商集合の最も典型的で身近な例となっている。
有理数の距離空間としての完備化(適当な距離に関する「無限小数」展開を考えることに相当)として、実数 p-進数が得られる(後述。あるいはコーシー列デデキント切断等を参照)。有理数ではない実数無理数と呼ばれる。また、すべての有理数係数多項式の根の全体はを成し(Q代数閉包)、その元を代数的数と呼ぶ。
目次
1.用語法について
2.演算
3.形式的な構成
4.抽象的性質
├4.1.基本性質
└4.2.位相的性質
5.参考文献
6.関連項目
7.外部リンク
出典:Wikipedia
2019/05/27 16:30
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