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”CˆÓ‚ÌŽÀ” a ‚Í a + 0i ‚Æ“¯ˆêŽ‹‚µ‚ĤŽÀ”‚Ì‘S‘Ì‚ÍŽ©‘R‚É•¡‘f”‚Ì‘S‘Ì‚É–„‚ߍž‚Þ‚±‚Æ‚ª‚Å‚«‚éi‚±‚Ì–„‚ߍž‚݂ͤŽl‘¥‰‰ŽZ‚¨‚æ‚ѐâ‘Î’l‚ð•Û‚‚Ƃ¢‚¤ˆÓ–¡‚ŤˆÊ‘Š‘Ì‚Ì–„‚ߍž‚Ý‚Å‚ ‚éj¡‚Ü‚½”CˆÓ‚̏ƒ‹•” bi ‚Í 0 + bi ‚É“¯ˆêŽ‹‚µ‚Ä•¡‘f”‚Æ‚È‚é¡

•¡‘f” z = a + bi ‚ɑ΂µ‚Ĥ

b ‚ð z ‚Ì‹••” (imaginary part) ‚Æ‚¢‚¢¤Im(z), ?(z), Im z, ? z ‚È‚Ç‚Å•\‚·¡‚±‚±‚Å•¡‘f”‚Ì‹••”‚ÍŽÀ”‚Å‚ ‚Á‚Ĥ‹•”’PˆÊ‚ðŠÜ‚ß‚½ƒ‹•”‚ðŒ¾‚¤‚Ì‚Å‚Í‚È‚¢‚±‚Æ‚É’ˆÓ[2][3]¡ ‹••”‚ª 0 ‚Å‚È‚¢¤‚·‚È‚í‚¿ŽÀ”‚Å‚È‚¢•¡‘f”‚Ì‚±‚Æ‚ð‹•”‚Æ‚¢‚¤¡
ŽÀ•”‚ª 0 ‚Å‚ ‚é‹•”‚Í“Á‚ɏƒ‹•”‚Æ‚¢‚¤¡
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•¡‘f” z = x + iy ‚Æ2‚‚̎À” x, y ‚Ì‘g (x, y) ‚Í1 : 1 ‚ɑΉž‚·‚é‚©‚礕¡‘f”‘S‘Ì‚©‚ç‚È‚éW‡ C ‚ͤz = x + iy ‚ð (x, y) ‚ÆŒ©‚È‚·‚±‚Æ‚É‚æ‚èÀ•W•½–ʂƍl‚¦‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡‚»‚±‚Å C ‚ð•¡‘f”•½–Ê‚Ü‚½‚Í’P‚ɐ”•½–Ê‚Æ‚¢‚¤¡¶°Ù¥ÌØ°ÄÞØË¥¶Þ³½‚Ɉö‚ñ‚Ŷ޳½•½–Ê‚ ‚é‚¢‚ͼެÝ?ÛÍÞ°Ù¥±Ù¶Þ݁i‰pŒê”Łj‚Ɉö‚ñ‚űٶÞݐ}‚ȂǂƌĂԡ‚±‚ê‚ƈقȂéŒê–@‚Æ‚µ‚ĤC ‚Í•¡‘f”‘̏ãˆêŽŸŒ³‚̨̱ݐüŒ^‘½—l‘Ì‚Å‚ ‚é‚̂Ť•¡‘f’¼ü‚Æ‚àŒÄ‚΂ê‚é¡

”•½–Ê‚É‚¨‚¢‚Ăͤx À•W‚ªŽÀ•”¤y À•W‚ª‹••”‚ɑΉž‚µ¤x Ž²i‰¡Ž²j‚ðŽÀŽ² (real axisy Ž²icŽ²j‚ð‹•Ž² (imaginary axis) ‚ƌĂÔ[4]¡

•¡‘f” z, w ‚ɑ΂µ‚Ä

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•¡‘f”‹…–Ê[•ÒW]

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Šî–{“I‚Ȑ«Ž¿[•ÒW]

‘Š“™ŠÖŒW[•ÒW]

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z 1 = z 2 ( Re ( z 1 ) = Re ( z 2 ) Im ( z 1 ) = Im ( z 2 ) ) . {\displaystyle z_{1}=z_{2}\iff (\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\land \operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}

Žl‘¥‰‰ŽZ[•ÒW]

(a + bi) } (c + di) = (a } c) + (b } d)ii•¡†“¯‡j
(a + bi)(c + di) = (acbd) + (bc + ad)i
znzm = zn + m
(zn)m = znm
(zw)n = znwn

•¡‘f‹¤–ði‹¤–ð•¡‘f”j[•ÒW]

‹••”‚Ì•„†‚¾‚¯‚ªˆÙ‚È‚é•¡‘f” a + bi ‚Æ abi ‚ðŒÝ‚¢‚É•¡‘f‹¤–ð‚ ‚é‚¢‚Í’P‚É‹¤–ði‚«‚傤‚â‚­¤conjugate¤–{—ˆ‚Í‹¤çbj‚Å‚ ‚é‚Æ‚¢‚¢¤z = a + bi ‚Æ‹¤–ð‚È•¡‘f” abi ‚ð‹L†‚Å z i‚Ü‚½‚Í z*j‚Æ•\‚·[4]¡‚·‚È‚í‚¿

z ¯ = e ( z ) m ( z ) i . {\displaystyle {\bar {z}}=\Re e(z)-\Im m(z)\cdot i.} z ‚ªŽÀ” Ì z = z
z ‚ªƒ‹•” Ì z = −z ‚ 0
i‘΍‡jz + z = 2 Re z
zz = 2i Im z
zz = |z|2
z 1 = z ¯ | z | 2   ( z 0 ) {\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)} i•¡†“¯‡jzw = z w
‚±‚ê‚ç‚©‚ç¤

‚ª—eˆÕ‚ÉŽ¦‚¹‚éi1746”N: ÀÞ×ÝÍްفj¡‚·‚È‚í‚¿¤

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‹ÉŒ`Ž®[•ÒW]

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â‘Î’l[•ÒW]

•¡‘f” z = x + yi ‚̐â‘Î’l‚Æ‚Í

r = | z | = x 2 + y 2 {\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} ‚Å—^‚¦‚ç‚ê‚éŽÀ”‚ðŒ¾‚¤¡z ‚ªŽÀ”i‚‚܂è y = 0j‚Ì‚Æ‚« r = |x| ‚ÍŽÀ”‚̐â‘Î’l (|x| = max{x, −x}) ‚Ɉê’v‚·‚顈ê”ʂ̏ꍇ‚ɂͤËß­ÀºÞ×½‚̒藝‚É‚æ‚è¤r ‚ÍŒ´“_‚Æ z ‚Ì•\‚·“_ P ‚Æ‚Ì‹——£‚É“™‚µ‚¢¡â‘Î’l‚Ì•½•û‚ͤŽ©g‚Æ‚»‚Ì‹¤çb•¡‘f”‚Ƃ̐ςɓ™‚µ‚¢¡‚·‚È‚í‚¿•¡‘f” z ‚ɑ΂µ‚Ä

| z | 2 = z z ¯ = x 2 + y 2 {\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}} ‚ª¬‚è—§‚¡

”ñ‘Þ‰»«: |z| = 0 Ì z = 0
ŽOŠp•s“™Ž®: |z + w| ? |z| + |w| (—ò‰Á–@«‚Æ‚à)
æ–@«: |zw| = |z||w|

•ÎŠp[•ÒW]

•¡‘f” z ‚̕Ίpi‰ž—p‚̏ê–Ê‚Å‚Í‚µ‚΂µ‚΢ˆÊ‘Š£‚Æ‚àŒÄ‚΂ê‚éjarg(z) ‚͐³‚ÌŽÀŽ²‚©‚瑪‚Á‚½“®Œa OP ‚ÌŠp“x‚ð‚¢‚¤¡•ÎŠp ƒÓ ‚Ì’l‚Í׼ޱ݂ŕ\‚·‚à‚Ì‚Æ‚·‚顐â‘Î’l‚Ì‚Æ‚«‚Æ“¯—l¤’¼ŒðŒ`Ž® x + yi ‚©‚ç•ÎŠp‚ð

φ = arg ( z ) = { arctan ( y x ) if  x > 0 arctan ( y x ) + π if  x < 0  and  y 0 arctan ( y x ) π if  x < 0  and  y < 0 π 2 if  x = 0  and  y > 0 π 2 if  x = 0  and  y < 0 indeterminate  if  x = 0  and  y = 0. {\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0\\{\text{indeterminate }}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}} ‚Æ‹‚߂邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é[5]iŒvŽZ‹@Œ¾Œê‚Å‚Í‚µ‚΂µ‚΂±‚̂悤‚ȑΉž‚ð x, y “ñ‚‚̈ø”‚ðŽ‚Â”Ÿ” atan2i‰pŒê”Łj ‚Æ‚µ‚ÄŽÀ‘•‚·‚éj¡—áŠO‚Æ‚µ‚Ä•¡‘f” 0‚ɑ΂·‚é‹ÉŒ`Ž®‚̕Ίp‚Í•s’è (indeterminate) ‚Æ‚·‚邪¤Šp“x 0 ‚Í”@‰½‚È‚é•ÎŠp‚ÌŽæ‚è•û‚É‚¨‚¢‚Ä‚à‹¤’Ê‚µ‚Đ³‚ÌŽÀ”‚ð•\‚·¡

’ʏí‚Í‚±‚̂悤‚ɤ‹æŠÔ (−ƒÎ, ƒÎ] ‚É’l‚ðŽæ‚é‚à‚Ì‚Æ‚µ‚Ĥ‚»‚ê‚ðŽå’l‚Æ‚·‚é¡‚ ‚é‚¢‚Í‚±‚Ì‚Æ‚«•‰‚Ì’l‚Æ‚È‚é‚à‚̂ɑ΂µ‚Ä 2π ‚ð‰Á‚¦‚é‚à‚Ì‚Æ‚·‚ê‚Î [0, 2π) ‚͈̔͂Œl‚ðŽæ‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡“¯‚¶Šp‚ɑ΂µ‚Ä‚»‚ÌŠp“x‚É 2ƒÎ ‚Ì”CˆÓ‚̐®””{‚ð‰Á‚¦‚Ä‚à“¯‚¶Šp‚ð•\‚·‚Ì‚¾‚©‚礕Ίp‚ð—^‚¦‚锟”‚Í‘½‰¿‚Å‚ ‚é‚à‚Ì‚Æ‚µ‚čl‚¦‚邱‚Æ‚à‚µ‚΂µ‚΂ł ‚é¡‚±‚̂悤‚È‘½‰¿«‚ͤ”Šw“I‚ɂ͈ȉº‚̂悤‚É‘¨‚¦‚ç‚ê‚é¡‚·‚È‚í‚¿ arctan(z) ‚ª‚ЂƂ½‚Ñ—^‚¦‚ç‚ꂽ‚Æ‚«¤z ‚ª‚»‚Ì‹ß–T‚ð˜A‘±“I‚ɕω»‚·‚é‚È‚ç‚Τ”Ÿ”‚Ì’l‚à‚Ü‚½‚»‚Ì‹ß–T‚ŘA‘±“I‚ɕω»‚·‚é‚悤‚ÉŽ}‚ð‚Æ‚é‚à‚Ì‚Æ‚µ‚Ĥ‚»‚ê‚ð’P‚É arg(z) = arctan(y/x) ‚̂悤‚ɏ‘‚­[’Žß 3]¡

•\Ž¦Œ`Ž®‚Æ‹L–@[•ÒW]

â‘Î’l r ‚ƕΊp ƒÓ ‚𕹂¹‚ê‚Ε¡‘f”•½–ʏã‚Ì“_‚̈ʒu‚ðŠ®‘S‚É“Á’è‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«¤‹ÉŒ`Ž® (polar form) ‚ƌĂ΂ê‚é•¡‘f”‚Ì•\Œ»•û–@‚ª—^‚¦‚ç‚ê‚é¡‹ÉŒ`Ž®‚©‚ç‚à‚Æ‚Ì’¼ŒðÀ•W (rectangular co-ordinates) ‚ð‰ø•œ‚·‚é‚ɂͤ¢ŽOŠp”Ÿ”Œ`Ž®£

z = r ( cos ( φ ) + i sin ( φ ) ) {\displaystyle z=r(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))} ‚ðl‚¦‚ê‚΂悢¡µ²×°‚ÌŒöŽ®‚ð—p‚¢‚ê‚Τ‚±‚ê‚ð z = reiƒÓ ‚Ə‘‚­‚±‚Æ‚ª‚Å‚«‚邵¤cis”Ÿ”‚ð—p‚¢‚Ä z = r cis(ƒÓ) ‚Ə‘‚­‚±‚Æ‚à‚ ‚é¡

̪°»ÞŒ`Ž®i‰pŒê”Łj

z = r φ {\displaystyle z=r\angle \varphi } ‚Í“dŽqHŠw‚É‚¨‚¢‚ĐU• r ‚ƈʑŠ ƒÓ ‚ðŽ‚Â̪°»Þ‚ð•\‚·‚Ì‚É‚æ‚­—p‚¢‚ç‚ê‚é[6]¡

‹ÉŒ`Ž®‚̉º‚ł̏揜–@[•ÒW]

æ–@¤œ–@‚¨‚æ‚Ñ™p‚ÌŒvŽZ‚ͤ‹ÉŒ`Ž®‚Ì‚à‚Ƃōs‚¤‚Ù‚¤‚ª’¼ŒðÀ•W‚É‚æ‚é‚æ‚è‚àŠÈ–¾‚Å‚ ‚é¡“ñ‚‚̕¡‘f”‚ð z1 = r1(cos(ƒÓ1) + i?sin(ƒÓ1)) ‚¨‚æ‚Ñ z2 = r2(cos(ƒÓ2) + i?sin(ƒÓ2)) ‚Æ‚·‚ê‚Τ‚æ‚­’m‚ç‚ꂽŽOŠp”Ÿ”‚̉Á–@’藝

cos ( a ) cos ( b ) sin ( a ) sin ( b ) = cos ( a + b ) , {\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b),} ‚É‚æ‚Á‚Ä

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 ) ) {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}))} ‚ª“±‚©‚ê‚é¡‚·‚È‚í‚¿Ï‚Ì‹ÉŒ`Ž®•\Ž¦‚É‚¨‚¢‚ĤÏ‚̐â‘Î’l‚͐â‘Î’l‚̐ςł ‚褐ς̕Ίp‚͕Ίp‚̘a‚Å‚ ‚顗Ⴆ‚Î i ‚ðŠ|‚¯‚邱‚Æ‚Í”½ŽžŒv‰ñ‚è‚É’¼Šp‚ɉñ“]‚³‚¹‚邱‚Æ‚Å‚ ‚褂»‚̈Ӗ¡‚É‚¨‚¢‚Ä i2 = −1 ‚Å‚ ‚邱‚Æ‚ªÄ‚ÑŠm‚©‚ß‚ç‚ê‚é¡

“¯—l‚É‚µ‚Ĥ¤‚Í

z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 φ 2 ) + i sin ( φ 1 φ 2 ) ) {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right)} ‚Æ—^‚¦‚ç‚ê‚é¡

•ÎŠp‚ÌŒvŽZ‹K‘¥[•ÒW]

•ÎŠp‚ÉŠÖ‚·‚é“™Ž® arg(zw) = arg(z) + arg(w) ‚ͤŠe€‚É 2ƒÎ ‚Ì”CˆÓ‚̐®””{‚ð‰Á‚¦‚é•s’萫‚ðœ‚¢‚Ь‚è—§‚“™Ž®‚Å‚ ‚邱‚Æ‚É’ˆÓ‚µ‚È‚¯‚ê‚΂Ȃç‚È‚¢¡—Ⴆ‚Î arg(z2) = arg(z) + arg(z) = 2 arg(z) ‚É‚¨‚¢‚Ĥ‚à‚µŠe€”CˆÓ‚ɕΊp‚ð‚Æ‚é‚à‚Ì‚Æ‚µ‚Ä‚µ‚Ü‚¤‚Ƥarg(z) = ƒÆ + 2nƒÎ (n ‚Í”CˆÓ‚̐®”) ‚Ə‘‚¯‚Τ‰E•Ó‚Í 2ƒÆ + 4nƒÎ ‚¾‚ª¶•Ó‚Í 2ƒÆ + 2mƒÎ (m ‚Í”CˆÓ‚̐®”) ‚ƂȂ茵–§‚É‚Í“™‚µ‚­‚È‚ç‚È‚¢¡‚»‚ê‚𖾎¦‚·‚邽‚߂ɍ‡“¯Ž®‚Ì‹L–@‚ð—¬—p‚µ‚Ä‚µ‚΂µ‚Î arg(zw) ß arg(z) + arg(w) (mod 2ƒÎ) ‚È‚Ç‚Æ‚à‘‚­¡‚±‚ꂪ mod 2ƒÎ ‚ÉŠÖ‚µ‚臓¯‚Å‚ ‚é‚Æ‚¢‚¤—‰ð‚͏d—v‚Å‚ ‚é¡‚µ‚©‚µ¤æq‚̂悤‚Ɂi“K“–‚ÈØ°Ïݖʏã‚Łj•ÎŠp‚ð‚Æ‚é‚à‚̂Ɖ¼’è‚·‚ê‚Τ2ƒÎ ‚̐®””{‚ð‰Á‚¦‚é•s’萫–³‚­ŽÀÛ‚É“™†‚ª¬‚è—§‚¡‚·‚È‚í‚¿¤ŽO‚‚̕¡‘f” zw, z, w ‚Ì‚»‚ꂼ‚ê‚ɑ΂µ‚Ä“Æ—§‚ɕΊp‚ð‚Æ‚é‚Ì‚Å‚Í‚È‚­¤‚ЂƂ½‚Ñ arg(zw) = arg(z) + arg(w) ‚ð–ž‚½‚·‚悤‚ɕΊp‚ðˆê‘g‘I‚ׂ΁i—Ⴆ‚ΉE•Ó‚ÌŠe€‚Ì’l‚ðŒˆ‚ß¤‚»‚ê‚É‚æ‚Á‚č¶•Ó‚Ì’l‚ð’è‹`‚·‚ê‚΁j¤z ‚ ‚é‚¢‚Í w ‚ð˜A‘±“I‚ɕω»‚³‚¹‚é‚Æ‚«¤arg(zw) ‚à˜A‘±“I‚ɕω»‚µ‚Ĥ‚»‚̂悤‚ÈŽO“_‚Ì‹ß–T‚É‚¨‚¢‚ďí‚ÉŒµ–§‚ȈӖ¡‚Å“™†‚ª¬—§‚·‚é[7]¡

“¯—l‚Ì’ˆÓ‚Ì‚à‚ƈȉº‚ª¬‚è—§‚Â:

arg(zw) = arg(z) + arg(w)
arg(z/w) = arg(z) − arg(w)
arg(zn) = n arg(z) in ‚͐®”j
•ÎŠp‚ÌŒvŽZ–@‘¥‚͑ΐ”‚Ì‚»‚ê‚Æ‚Ù‚Ú“¯‚¶‚Å‚ ‚邪¤‚»‚ê‚Í•¡‘f”‚ð•Ï”‚Æ‚·‚鎩‘R‘ΐ”‚Ì‹••”‚ª•ÎŠp‚É‚æ‚Á‚Ä•\‚³‚ê‚邱‚Æ‚É‹Nˆö‚µ‚Ä‚¢‚é¡

ÄÞ¥Ó±ÌÞق̒藝[•ÒW]

ŽÀ” ƒÆ, ®” n ‚ɑ΂µ‚Ĥ

‚ª¬‚è—§‚iÄÞ¥Ó±ÌÞق̒藝j¡“¯‚¶‚±‚Æ‚Å‚ ‚邪

(cos ƒÆ + i sin ƒÆ)n = cos nƒÆ + i sin nƒÆ ‚Æ‚à•\Œ»‚³‚ê‚é¡n ‚ª®”‚Å‚È‚¢‚Æ‚«ˆê”ʂɂ͐¬‚è—§‚½‚È‚¢¡

«Ž¿‚Æ“Á’¥•t‚¯[•ÒW]

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( a b b a ) = ( r cos θ r sin θ r sin θ r cos θ ) = r ( cos θ sin θ sin θ cos θ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &r\cos \theta \end{pmatrix}}=r{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}} ‚ÍŠp“x ƒÆ ‚̉ñ“]s—ñ‚̽¶×° r-”{‚Å‚ ‚褂±‚ê‚Í•¡‘f”‚̐ςª R2 ã‚́iŒ´“_‚𒆐S‚Æ‚·‚éj‘ŠŽ—Šg‘åi‰pŒê”Łj‚Ɖñ“]‚̍‡¬‚ðˆø‚«‹N‚±‚·‚±‚ƂɑΉž‚·‚é¡

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d ( z 1 , z 2 ) = | z 1 z 2 | ( z 1 , z 2 C ) {\displaystyle d(z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|\quad (z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} )} ‚ð”õ‚¦‚銮”õ‹——£‹óŠÔ‚Ť“Á‚ÉŽOŠp•s“™Ž®

| z 1 + z 2 | | z 1 | + | z 2 | {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|} ‚ª¬—§‚·‚é¡ŽÀ‰ðÍ‚Æ“¯—l‚ɤŽû‘©‚ÌŠT”O‚Í‚¢‚­‚ç‚©‚̏‰“™”Ÿ”‚̍\¬‚É‚¨‚¢‚Ä—p‚¢‚ç‚ê‚é¡

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•¡‘fŽw””Ÿ” exp(z) ‚ ‚é‚¢‚Í ez ‚Í–³ŒÀ‹‰”

exp ( z ) := 1 + z + z 2 2 1 + z 3 3 2 1 + = n = 0 z n n ! {\displaystyle \exp(z):=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}} ‚Æ‚µ‚Ä’è‹`‚³‚꤂±‚Ì‹‰”‚ð—p‚¢‚āiŽÀ•Ï”‚ÌŽw””Ÿ”‚É‚æ‚Á‚Ä sinh ‚â cosh ‚̂悤‚È‘o‹Èü”Ÿ”‚ð’è‹`‚·‚é‚悤‚ɁjŽÀ•Ï”‚̐³Œ·”Ÿ” sin(x) ‚â—]Œ·”Ÿ” cos(x) ‚ð’è‹`‚·‚ê‚Τ‚»‚ê‚ç‚͉½‚à•Ï‚¦‚邱‚Æ‚È‚­•¡‘f•Ï” z ‚É‚¨‚¢‚Ä’è‹`‚³‚ꂽ•¡‘f”Ÿ” sin(z), cos(z) ‚É‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚页²×°‚Ì“™Ž®‚̏q‚ׂé‚Æ‚±‚ë‚É‚æ‚ê‚Τ”CˆÓ‚ÌŽÀ” ƒÓ ‚ɑ΂µ‚Ä

exp ( i φ ) = cos ( φ ) + i sin ( φ ) {\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos(\varphi )+i\sin(\varphi )} ‚ª¬—§‚·‚éi“Á‚É exp(ƒÎi) = −1 ‚Å‚ ‚éj¡

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exp ( z ) = w {\displaystyle \exp(z)=w} ‚Í”CˆÓ‚Ì”ñ—ë•¡‘f” w ‚ɑ΂µ‚Ä–³ŒÀŒÂ‚Ì•¡‘f‰ð‚ðŽ‚Â¡‚»‚̂悤‚ȉð z¤‚·‚È‚í‚¿ w ‚Ì•¡‘f‘ΐ””Ÿ” log(w) ‚Í

log ( w ) = ln | w | + i arg ( w ) {\displaystyle \log(w)=\ln |w|+i\arg(w)} ‚Æ•\‚·‚±‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡‚½‚¾‚µ¤ln ‚ÍŽÀ”Ÿ”‚Æ‚µ‚Ä‚ÌŽ©‘R‘ΐ”‚Ťarg ‚͏ãq‚̕Ίp‚Å‚ ‚é¡‚±‚Ì’l‚ͤ•ÎŠp‚Ì‚Æ‚«‚Æ“¯—l‚É 2ƒÎ ‚̐®””{‚ð‰Á‚¦‚éˆá‚¢‚ðœ‚¢‚ĈêˆÓ‚Å‚ ‚é‚©‚礕¡‘f‘ΐ””Ÿ”‚à‚Ü‚½‘½‰¿”Ÿ”‚Å‚ ‚é¡Žå’l‚Æ‚µ‚Ăͤ‚±‚Ì‹••”‚ª‹æŠÔ (−ƒÎ, ƒÎ] ‚͈̔͂ɂ ‚é‚悤‚ɐ§ŒÀ‚µ‚½‚à‚Ì‚ðŽæ‚邱‚Æ‚ª‘½‚¢¡

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z ω = exp ( ω log z ) {\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \log z)} ‚Æ‚µ‚Ä’è‹`‚³‚ê‚顑ΐ””Ÿ”‚Í‘½‰¿‚Å‚ ‚Á‚½‚©‚礂»‚ÌŒ‹‰Ê‚Æ‚µ‚Ä•¡‘f”‚Ì•¡‘f”æ‚àˆê”Ê‚É‚Í‘½‰¿‚É‚È‚é¡“K“–‚ÈŽ©‘R” n ‚ɑ΂·‚é ƒÖ = 1/n ‚ðl‚¦‚é‚Æ‚«‚ɂͤ‚±‚ê‚Í•¡‘f”‚Ì n-™pª‚ªˆêˆÓ‚Å‚È‚¢‚±‚Æ‚ðˆÓ–¡‚·‚é‚à‚Ì‚É‚È‚éi—Ⴆ‚Î nzn = z ‚͈ê”ʂɂ͐¬‚è—§‚½‚È‚¢j¡‚æ‚èˆê”ʂɤ‘ΐ””Ÿ”‚Ì“K“–‚ÈŽ}‚ð‚Æ‚Á‚Ĉꉿ”Ÿ”‚Æ‚µ‚Ĉµ‚¤‚Æ‚«¤ŽÀ”‚ÌŽÀ”æ‚̏ꍇ‚ɐ¬—§‚µ‚Ä‚¢‚½Žw”–@‘¥‚â‘ΐ”–@‘¥‚ͤ•¡‘f”‚Ì•¡‘f”æ‚ł͈ê”ʂɐ¬‚è—§‚½‚È‚¢¡—Ⴆ‚Τ

a b c = ( a b ) c {\displaystyle a^{bc}=(a^{b})^{c}} ‚Í a, b, c ‚ª•¡‘f”‚Å‚ ‚éê‡‚ɂ͈ê”ʂɂ͐¬—§‚µ‚È‚¢¡‚±‚ÌŽ®‚Ì—¼•Ó‚ð‚¢‚Üq‚ׂ½‚悤‚È‘½‰¿‚Ì’l‚ðŽ‚Â‚à‚̂ƊŘô‚·ê‡¤¶•Ó‚Ì’l‚Ì‘S‘͉̂E•Ó‚Ì’l‚Ì‘S‘̂̐¬‚·W‡‚Ì•”•ªW‡‚É‚È‚Á‚Ä‚¢‚邱‚Æ‚É’ˆÓ‚·‚é¡

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f w : C C ; z w z {\displaystyle f_{w}\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ;\;z\mapsto wz} ‚Æ‚·‚é‚Ƥ‚±‚ê‚͐üŒ^‘㐔Šw‚Å‚æ‚­’m‚ç‚ꂽŽd•û‚É‚æ‚Á‚āi“K“–‚ÈŠî’ê‚ð‘I‚Ô‚±‚Æ‚É‚æ‚èj¤s—ñ‚Å•\Œ»‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚顏‡˜•t‚¯‚ç‚ꂽŠî’ê (1,?i) ‚ÉŠÖ‚µ‚Ä fw ‚Í 2~2-ŽÀs—ñ

( Re ( w ) Im ( w ) Im ( w ) Re ( w ) ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\quad \operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}}} ‚Å•\Œ»‚³‚ê‚éi‚‚܂褍s—ñ•\Œ»‚̐߂ŏq‚ׂ½s—ñ‚É‘¼‚È‚ç‚È‚¢j¡‚±‚ê‚Í C ‚Ì•W€“I‚ȐüŒ^•\Œ»‚¾‚ª¤—Bˆê‚Ì•\Œ»‚Å‚Í‚È‚¢¡ŽÀÛ¤

J = ( p q r p ) , ( p 2 + q r + 1 = 0 ) {\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad (p^{2}+qr+1=0)} ‚È‚éŒ`‚Ì”CˆÓ‚̍s—ñ‚Í‚»‚Ì•½•û‚ª’PˆÊs—ñ‚Ì −1 ”{¤‚·‚È‚í‚¿ J2 = |I ‚ð–ž‚½‚·‚©‚礍s—ñ‚̏W‡

{ z = a I + b J : a , b R } {\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}} ‚à‚Ü‚½ C ‚É“¯Œ^‚Æ‚È‚è¤R2 ã‚É•Ê‚Ì•¡‘f\‘¢‚ð—^‚¦‚é¡‚±‚ê‚͐üŒ^•¡‘f\‘¢i‰pŒê”Łj‚ÌŠT”O‚É‚æ‚Á‚Ĉê”ʉ»‚·‚邱‚Æ‚ª‚Å‚«‚é¡

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Weisstein, Eric W. "Complex Number". MathWorldi‰pŒêj.
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