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正多角形
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1.ユークリッド幾何学
1.2.コンパスと定規を用いて描けるもの
素数 p のものを正p角形と呼ぶ。正p角形のうち、作図可能なものは、角(辺)の数 pフェルマー素数 (3、5、17、257、65537) である場合のみであり、それぞれ正三角形、正五角形、正十七角形、正二百五十七角形、正六万五千五百三十七角形である。角の数が素数でないものについては、その数を素因数分解した時に奇数因数がフェルマー素数のみでかつ、同じものが存在しない場合、または奇数の因数が存在しない(2の累乗数)場合のみ作図することが可能である。

例:正方形は、奇数の因数がないので (4=2×2) 作図することができる。正六角形や正十五角形は、奇数の因数がフェルマー素数のみなので (6=2×3、15=3×5) 作図する事ができる。正九角形は、奇数の因数はフェルマー素数のみだが同じ数の重複があるので (9=3×3) 作図できない。

正十七角形の作図可能性は、1796年3月30日カール・フリードリヒ・ガウスが発見した。さらにガウスは1801年に出版したDisquisitiones Arithmeticae(『ガウス整数論』)の第365条、第366条において、作図できる正多角形の必要十分条件も示している。

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(1.1.対角線の長さ)
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(1.3.作図可能の比較)
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出典:Wikipedia
2020/02/08 19:31
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