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十二進法
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1.記数法
1.2.小数と除算
桁が一つ動く度に数が十二倍変わるため、小数第一位は「十二分の一の位」、小数第二位は「百四十四分の一の位」となる。従って、十二進法では:

(0.1)12 = 1/12 (1×12-1)
(0.5)12 = 5/12 (5×12-1)
(0.A)12 = 10/12 (10×12-1)
(0.01)12 = 1/144 (1×12-2)
(0.03)12 = 3/144 (3×12-2)
(0.14)12 = 16/144 (1×12-1 + 4×12-2)
(0.76)12 = 90/144 (7×12-1 + 6×12-2)
(0.001)12 = 1/1728 (1×12-3)
を、それぞれ意味する。

計算例[編集]


小数の (3.9)12 は、十進分数で「45/12」、六進分数で「113/20」を意味し;小数の (0.39)12 は十進分数で「45/144」、六進分数で「113/400」という意味になる。従って、十進数の (3.75)10 や六進数の (3.43)6 は十二進数では (3.9)12 で一桁になり、十進数の (0.3125)10 や六進数の (0.1513)6 は十二進数では (0.39)12 で二桁になる(二十進数も同様)。このように、小数の桁が縮まる要因は、十進法六進法単偶数進法なのに対して、十二進法は「奇数の四倍」進法だからである。

十進数では、前者は 3 + 75/100 (= 3/4) と 3 + 9/12 (= 3/4) が 15/4 で同値となり、後者は 3125/10000 (= 3125/104 = 5/16) と 45/144 (= 45/122 = 5/16) が同値になる。六進数でも、前者は 3 + 43/100{= (27/36)10 = 3/4}と 3 + 13/20{= (9/12)10 = 3/4}が 23/4{= (15/4)10}で同値となり、後者は 1513/10000{= 1513/104 = 5/24 = (5/16 = 405/1296)10}と 113/400 (= 113/202 = 5/24) が同値になる。

以下、十進換算値で対比する。

(390)12 = 3×122 + 9×121 = (540)10
(39)12 = 3×121 + 9 = (45)10
(3.9)12 = 3 + 9×12-1 = 45/12 = 15/4 = (3.75)10
(0.39)12 = 3×12-1 + 9×12-2 = 36/144 + 9/144 = 45/144 = 5/16 = (0.3125)10
同じく、十二進法の (0.39)12×(6)12 の積は (1.A6)12 となり、(3.9)12×(6)12 の積は (1A.6)12 となる。

(1A6)12 = 1×122 + 10×121 + 6 = (270)10
(1A.6)12 = 1×121 + 10 + 6×12-1 = 270/12 = 90/4 = (22.5)10
(1.A6)12 = 1 + 10×12-1 + 6×12-2 = 1 + 120/144 + 6/144 = 270/144 = 30/16 = (1.875)10
これらの数式を、十進法や六進法の小数や分数に換算すると、以下のようになる。

数式A
十二進法:(39)12 × (6)12 = (1A6)12
十進法に換算:45 × 6 = 270
六進法に換算:113 × 10 = 1130
数式B
十二進法:(3.9)12 × (6)12 = (1A.6)12
十進法の小数に換算:3.75 × 6 = 22.5
十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/12 (= 45/121) × 6 = 270/12 (= 270/121)
十進法の分数に換算(約分する):(15/4) × 6 = (90/4)
六進法の小数に換算:3.43 × 10 = 34.3
六進法の分数に換算(桁に合わせる):113/20 (= 113/201) × 10 = 1130/20 (= 1130/201)
六進法の分数に換算(約分する):(23/4) × 10 = (230/4)
数式C
十二進法:(0.39)12 × (6)12 = (1.A6)12
十進法の小数に換算:0.3125 × 6 = 1.875
十進法の分数に換算(桁に合わせる):45/144 (= 45/122) × 6 = 270/144 (= 270/122)
十進法の分数に換算(約分する):(5/16) × 6 = (30/16)
六進法の小数に換算:0.1513 × 10 = 1.513
六進法の分数に換算(桁に合わせる):113/400 (= 113/202) × 10 = 1130/400 (= 1130/202)
六進法の分数に換算(約分する):(5/24) × 10 = (50/24)
57.6÷9 および (57.6)12 ÷ (9)12 の商は、以下の通りとなる。

十進法: 57.6 ÷ 9 = 6.4
十二進法: (57.6)12 ÷ (9)12 = (7.6)12
桁を一つ繰り上げて小数点を消すと、(576)10 は 64×9 だが、(576)12 は (810)10、つまり十進換算値が 90×9 である。(576)12を桁で分解すると、5×122 + 7×121 + 6 = 720 + 84 + 6 = 810 となる。

更に、十進法の 576÷9 = 64 も、十二進法では (400)12 ÷ (9)12 = (54)12 となる。

十進法: 576 ÷ 9 = 64
十二進法: (400)12 ÷ (9)12 = (54)12
(576)10 を十進数で分解すると、十進法では 5×102 + 7×101 + 6 = 500 + 70 + 6 で 576 となるが、十二進法では 4×122 で (400)12となる。(50)12 は 60(10) なので、4 を加えた (54)12 も (64)(10) に等しい。別の言い方をすると、「五六個の九分割は六十四個」は「四グロスを九人で分けて、五ダース四個」になるのに対して、「五グロス七ダース六個の九分割は七ダース六個」は「八百十個の九分割は九十個」になるとも言える。このように、十二進法では、「400個」の物品を3人や9人でぴったり分けることができる。

十二進法は因数に3が含まれているので、除数が3の冪数であれば割り切れる数になる。但し、十二進法は10の素因数分解が22×3なので、3の冪数による除算は、小数点を消した値が「2の偶数乗を掛けた値」になる。例えば、除数が33だと、逆数の分子は23×2=26になる(→詳細はこちらも参照すること)。

23 ÷ 33(十進分数 8/27
十二進法:(8)12 ÷ (23)12 = (0.368)12
六進法:(12)6 ÷ (43)6 = (0.144)6
十分の三」は、十進法が(0.3)10、六進法が(0.14444…)6に対して、十二進法では(0.37249…)12になる。「十分の三」の近似値である「二十七分の八」は、六進法が(0.144)6に対して、十二進法では(0.368)12で分子・分母が六進法の八倍になる。十二進分数 368/1000 の六進換算値は 2212/12000 = 144×12/1000×12 になる。
82 ÷ 92(= 26 ÷ 34、十進分数 64/81
十二進法:(54)12 ÷ (69)12 = (0.9594)12
六進法:(144)6 ÷ (213)6 = (0.4424)6
それぞれの小数を六進分数に換算すると、(0.9594)12 = 203504/240000 = (16384/20736)10、(0.4424)64424/10000 = (1024/1296)10、203504 ÷ 24 = 4424 となる。十二進数で分解すると、9594 ÷ 54 = 194 = 28 = 24×2になる。
(22×53) ÷ 36(十進分数 500/729
十二進法:(358)12 ÷ (509)12 = (0.829228)12
六進法:(2152)6 ÷ (3213)6 = (0.404052)6
十二進法と六進法の両方とも、3-6(七百二十九分割)は小数点以下六桁になる。分数に換算すると、六進法だと (0.404052)6 = (404052/1000000)6 = (32000/46656)10になるが、十二進法だと (0.829228)12 = (111521252/144000000 = 404052×144/1000000×144)6 = (2048000/2985984)10になる。
六進法の3-6は分子が26=144(6)=64(10)、分母が23000(12)=1000000(6)=46656(10)に対して;十二進法で3-6をすると、分子は26×22454(12)=30544(6)=4096(10)、分母は1000000(12)144000000(6)=2985984(10)で分子・分母が六進法の六十四倍になり、分母は二十の五乗(10A3A28(12)=3200000(10))、六の八乗(690000(12)=1679616(10))、十の六乗(402854(12)1000000(10))に近い数値になる。なお、十二の六乗、二十の五乗、六の八乗の三つは、最大公約数が28になる。
十進法100(10) や 1000(10) など十の冪数二十進法の 100(20)(=400(10))や 1000(20)(=8000(10))など二十の冪数、十六進法の 100(16)(=256(10))など二の冪数進法による冪数は、39で割り切れないが、十二進法では割り切れる(六進法も同様)。十進法の 100(10) は十二進法では 84(12)、十六進法の 100(16) は十二進法では 194(12) となる(→他の商は後述)。

1/3 メートル
十進法:100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル
十二進法:(84)12 ÷ 3 = (29.4)12 センチメートル
1/3 リットル
十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333… ミリリットル
十二進法:(6B4)12 ÷ 3 = (239.4)12 ミリリットル
1/9 キロメートル
十進法:1000 ÷ 9 = 111.1111… メートル
十二進法:(6B4)12 ÷ 9 = (93.14)12 メートル
28 ÷ 3 (十進換算:256 ÷ 3)
十六進法:(100)16 ÷ 3 = 55.5555…
十二進法:(194)12 ÷ 3 = 71.4
1/3バク(※「バク」はマヤ数詞で四百。十進換算:400 ÷ 3)
二十進法:(100)20 ÷ 3 = 6D.6D6D…
十二進法:(294)12 ÷ 3 = B1.4
素因数が2と3なので、3が因数に含まれない数が被除数になっても、3の「冪数」では割り切れるが、3の「倍数」でも該当しない例もある。

(32×7) ÷ 33(十進法だと 63 ÷ 27)
十二進法:(53)12 ÷ (23)12 = (2.4)12
十六進法:(3F)16 ÷ (1B)16 = (1.5555…)16
二十進法:(33)20 ÷ (17)20 = (2.6D6D…)20
(32×7) ÷ (2×3×5)(十進法だと 63 ÷ 30)
十二進法:(53)12 ÷ (26)12 = (2.124972497…)12
十六進法:(3F)16 ÷ (1E)16 = (2.1999…)16
二十進法:(33)20 ÷ (1A)20 = (2.2)20
十二進法で「100」を満点や全体値とすると、十進法の「百分率」に対して、十二進法では「百四十四分率」となる。百四十四分率をそのまま十二進数で適用すると、3や6や9では割り切れるが、5やA(十)では割り切れない。5やAで割り切る場合には、十進数または二十進数に直すことになる。

3分割
十二進法:(100)12 ÷ 3 = (40)12
十進法に換算:144 ÷ 3 = 48
二十進法に換算:(74)20 ÷ 3 = (28)20
5分割
十二進法:(100)12 ÷ 5 = (24.9724…)12
十進法に換算:144 ÷ 5 = 28.8
二十進法に換算:(74)20 ÷ 5 = (18.G)20

一桁小数による分割[編集]


十二進法では (0.1)12 が「十二分の一」になるため、(0.3)121/4 になり、(0.4)121/3 になり、(0.6)121/2 になり、(0.A)12(十進法で10/12)は 5/6 になる。その他、m/n として分数化できる一桁小数として、(0.8)122/3 となり、(0.9)123/4 となる。

従って、ある数値に (0.4)12 を掛けると 1/3 になり、(0.9)12 を掛けると 3/4 になる。位取りに応用すると、Nの8倍は、Nの十二倍を 2/3 にした数値になる。このように、一桁小数で三分割と四分割が可能になる(ただし、五分割はできない)。他のN進法との連関では、1/3 である (0.4)12六進法の (0.2)6 と同値になり、1/4 である (0.3)12二十進法の (0.5)20 と同値になる。

十二を掛ける:(76)12 × (10)12 = (760)12(十進法:90の 12倍 は1080。六進法:230 × 20 = 5000)
8を掛ける: (76)12 × (8)12 = (500)12(十進法:90の 8倍 は720。六進法:230 × 12 = 3200)
0.8を掛ける:(760)12 × (0.8)12 = (500)12(十進法:1080の 2/3 は720。六進法:5000 × 0.4 = 3200)
除算:(76)12 ÷ (3)12 = (26)12(十進法:90 ÷ 3 = 30。六進法:230 ÷ 3 = 50)
一桁小数を掛ける:(76)12 × (0.4)12 = (26)12(十進法:90の 1/3 は30。六進法:230 ×0.2 = 50)
一桁小数を掛ける:(76)12 × (0.8)12 = (50)12(十進法:90の 2/3 は60。六進法:230 ×0.4 = 140)
除算:(760)12 ÷ (4)12 = (1A6)12(十進法:1080 ÷ 4 = 270。二十進法:2E0 ÷ 4 = DA)
一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.3)12 = (1A6)12(十進法:1080の 1/4 は270。二十進法:2E0 × 0.5 = DA)
一桁小数を掛ける:(760)12 × (0.9)12 = (576)12(十進法:1080の 3/4 は810。二十進法:2E0 × 0.F = 20A)

小数との置換表[編集]


以下の表に、十二進法の小数と、それに相当する分数や商を掲載する。割り切れない小数の循環部分は下線で表す。十二はと四では割り切れるがでは割り切れないため、五で割った際に循環小数になって割り切れない例が多数発生する。五が対応できなくても四と三が対応できることから、十二進法は「小から大へ」の分割法を採っているのが特徴である。

可分性が最も上がる例は、「5の倍数」が被除数になるパターンである。このパターンでは、7の倍数とB(十一)の倍数を除いてほぼ割り切れる。「3で割り切れるが、2と5と9では割り切れない数」が被除数になるパターンでは、(16)12=(18)10までの3の倍数のうち、割り切れない数は(13)12=(15)10だけとなる。

また、六進法は「10 - 1」が5になり、1/5の小数が1111(6)259(10)(=(37×7)(10))の倍数となって循環し、(m/41)(6)=(m/25)(10)の小数は1235(6)311(10)の倍数五桁が循環する。これに対して、十二進法は「10 - 1」がB(十進法の11)で5の倍数ではないので、1/5の循環小数は 0.2497…で四桁になり、これに最も近い37(10)の倍数は 2494(12)(=31104(6)=4144(10)=(37×7×16)(10)となる。そして、(m/25)(10)の小数は、循環節が「05915 343A0 B62A6 8781B」の二十桁で、先頭五桁が5915となるが、これは十進法に直すと9953 (= 311×32 + 1)(10))となる。四桁に丸めた近似値も、六進法では (52/1296)(10) = 124/10000 から 124 = 52(10) となり、十二進法では 分子・分母を十六倍した (832/20736)(10) = 594/10000 から 594 = 832(10) となる。

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出典:Wikipedia
2020/02/07 16:00
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