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十二進法
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1.記数法
1.1.整数
十二進記数法とは、十二を底とする位取り記数法である。十二進法での位取りでは、通常は 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B の計十二個の数字を用い、A , 十一B , 十二を 10 , 十三を 11 と表記する。なお、8 と B が紛らわしいことを理由に、"Ten"と"Eleven"の頭文字を取って、十を T 、十一を E と表記する例もある。

本節では慣用に従い、通常のアラビア数字十進記数法で表記し、十二進記数法の表記を括弧および下付の 12 で表す。また、必要に応じて、十進記数法の表記も括弧及び下付の 10 で表す。十二進記数法で表された数を十二進数と呼ぶ。十二進法の位取りでは、左に一桁動くと 12倍 になり、右に一桁動くと 1/12 になる。言い換えると、整数第二位は「十二の位」、整数第三位は「百四十四の位」である。

(12)12 という表記において、左の「1」は十二を意味し、右の「2」は二を意味し、合わせて「十四」を意味する。

十二進法は「4×3=10」となるので、数列は4の倍数や3の倍数が進みやすいという傾向を持っている。従って、3で割り切れる六進法2×3=10)や、4で割り切れる二十進法(4×5=10)との親和性が強い傾向が見られる(→矩形数)。2と3で割り切れる点は六進法と同じであるが、「4×奇数」で桁上がりする構造は二十進法と同じである。

また、5以降の素数は、一の位が 1, 5, 7, B のいずれか、即ち 39 を除く奇数になる。例えば:

十進法の13 → 十二進法では11
十進法の17 → 十二進法では15
十進法の79 → 十二進法では67
十進法の107 → 十二進法では8B
となる。

十二進表記の整数は、以下の数値になる。

(26)12 = 30 (2×121 + 6)
(39)12 = 45 (3×121 + 9)
(50)12 = 60 (5×121)
(76)12 = 90 (7×121 + 6)
(84)12 = 100 (8×121 + 4)
(B3)12 = 135 (11×121 + 3)
(100)12 = 144 (1×122)
(1A6)12 = 270 (1×122 + 10×121 + 6)
(260)12 = 360 (2×122 +6×121)
(500)12 = 720 (5×122)
(576)12 = 810 (5×122 + 7×121 + 6)
(B14)12 = 1600 (11×122 + 1×121 + 4)
(1000)12 = 1728 (1×123)
(11A8)12 = 2000 (1×123 + 1×122 + 10×121 + 8)
(1280)12 = 2112 (1×123 + 2×122 + 8×121)
(2AA6)12 = 5022 (2×123 + 10×122 + 10×121 + 6)
(3969)12 = 6561 (3×123 + 9×122 + 6×121 + 9)
(6000)12 = 10368 (6×123)
(9575)12 = 16361 (9×123 + 5×122 + 7×121 + 5)
(10000)12 = 20736 (1×124)
を、それぞれ意味する。

様々なN進法からの換算
十進法の 2000 - 60 = 1940 → 十二進法では 11A8 - 50 = 1158
十進法の 45 × 16 = 720 → 十二進法では 39 × 14 = 500
六進法の 13000 + 132 = 13132 → 十二進法では 1160 + 48 = 11A8 (十進法では 1944 + 56 = 2000)
六進法の 400 ÷ 3 = 120 → 十二進法では 100 ÷ 3 = 40 (十進法では 144 ÷ 3 = 48)
二十進法の 55C × 9 = 27A8 → 十二進法では 1280 × 9 = B000 (十進法では 2112 × 9 = 19008)
二十進法の 434 - 34 = 400 → 十二進法では B68 - 54 = B14 (十進法では 1664 - 64 = 1600)
十二進法→十進法
十二進法の 50 ÷ 2 = 26 → 十進法では 60 ÷ 2 = 30
十二進法の 1000 ÷ 4 = 300 → 十進法では 1728 ÷ 4 = 432
ここで重要な点は、「100÷3が40」「50÷2が26」「1000÷4が300」である。十二進法では、10÷3が4となって割り切れるだけではなく、10の半分となる整数が6、10の1/4も3という一つの奇数になる事である。言い換えると、3でも4でも一桁で割り切れるという性質である。

累乗数の換算表[編集]


以下の表に、十二進数で表記した十二累乗数と、それを六進数(底が二の三倍)、十進数(底が二の五倍)、二十進数(底が四の五倍)に換算した数値を掲載する。万や億との対比を判り易くするため、桁は四つごとに区切る。

十二進数は底が四の三倍で、二十進数と同じく「底が四の奇数倍」であるが、桁の繰り上がりが三〜四桁レベルでは十進数より一倍半から二倍ほど遅く{10000(12) = 20736(10)}、二十進数より三倍から五倍ほど速い{5000(12) = 11C0(20) = 8640(10)}。また、十二の累乗数と二十の累乗数を対比すると、十二の六乗と二十の五乗が最も接近する{両者とも(300万)10前後。10A3A28(12) = 100000)(20) = 3200000(10)}。

同じ「三の倍数」進数である六進数とでは、三乗すなわち四桁への繰り上がりは六進数より八倍遅く{1000(12) = 12000(6) = 1728(10)}、累乗数では十二の三乗との四乗、十二の八乗と六の十一乗が最も接近する{900(12) = 10000(6) = 1296(10)、A1600000(12) = 100000000000(6) = 362797056(10)}。四乗すなわち五桁への繰り上がりは、六進数より十六倍遅く、二十進数より八倍速い{80000(12) = 10EE8(20) = 165888(10)}。また、十二進数が「1に0がp個付く」数になると、六進数は「2の累乗数に0がp個付く」数になり、「1に0がp個付く数 × 2のp乗」になる{例:28 = (212)6 = (1104)6 → 十二進数 100000000 = 六進数 100000000×212 = 68×28}。

他のN進数との互換[編集]


他のN進数を十二進数に変換するには、整数部分はそのまま十二進数に変換し、小数部分は十二の累乗数を他のN進数に変換した数値を掛ける。

(例)六進数 1.225245314(2の平方根

小数の分母:1000000000(6) → 144000000(6)(十二進換算値:3460000(12) → 1000000(12)、十進換算値:10077696 → 2985984)
225245314 × 0.144000000 = 42302030.544 → 42302031(6)
42302031(6) = 4B7917(12)(十進換算値は1236835)
よって、1.225245314(6) ≒ 1.4B7917(12) となる。

(例)十進数 42.195(フルマラソンのキロ数)

整数:42(10) = 36(12)
小数の分母:1000(10) → 144(10)(十二進換算値:6B4(12) → 100(12)
195 × 0.144 = 28.08 → 28(10)
28(10) = 24(12)
よって、42.195(10) ≒ 36.24(12) となる。

(例)十六進数 73.93(倍率、細分値)

整数:73(16) = 97(12)(十進換算値は115)
小数の分母:100(16) → 5100(16)(十二進換算値:194(12) → 10000(12)、十進換算値:256 → 20736)
93 × 51 = 2E83 → 2E83(16)
2E83(16) = 6A83(12)(十進換算値は11907)
よって、73.93(16) = 97.6A83(12) となる。

(例)二十進数 56.B38(倍率、細分値)

整数:56(20) = 8A(12)(十進換算値は106)
小数の分母:1000(20) → 468(20)(十二進換算値:4768(12) → 1000(12)、十進換算値:8000 → 1728)
B38 × 0.468 = 285.1F4 → 285(20)
285(20) = 685(12)(十進換算値は965)
よって、56.B38(20) ≒ 8A.685(12) となる。

[6]次ページ
(1.2.小数と除算)
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出典:Wikipedia
2020/02/07 16:00
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