リーマン予想
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概要
数学において、リーマン予想(リーマンよそう、: Riemann hypothesis, : Riemannsche Vermutung)は、リーマンゼータ関数が負の偶数と実部1/2複素数にしか零点を持たないという予想である。ドイツの数学者 Bernhard Riemann (1859) によって提唱されたため、その名前が付いている。名前は密接に関連した類似物に対しても使われる。例えば有限体上の曲線のリーマン予想。リーマン予想は、英語表記 Riemann hypothesis の直訳であるリーマン仮説と表記したり、RH と略すこともある。
リーマン予想は素数の分布についての結果を含んでいる。適切な一般化と合わせて、純粋数学において最も重要な未解決問題であると考える数学者もいる[1]。リーマン予想は、ゴールドバッハ予想とともに、ダーヴィット・ヒルベルト23の問題のリストのうちの第8問題の一部である。クレイ数学研究所ミレニアム懸賞問題の1つでもある。
リーマンゼータ関数 ζ(s) は変数 s1 でない任意の複素数を動く、値も複素数の関数である。それは負の偶数に零点を持つ、つまり、s−2, −4, −6, ... のときに ζ(s) = 0 となる。これらはその自明な零点と呼ばれる。しかしながら、負の偶数だけがゼータ関数が 0 になる値ではない。他のそのような値は非自明な零点と呼ばれる。リーマン予想はこれらの非自明な零点の位置に関するもので、次のような主張である:
したがって,予想が正しければ,すべての非自明な零点は、複素数 1/2 + i?t(ただし t実数i虚数単位)からなる臨界線 (critical line) に乗っている。
リーマン予想に関する非専門の本がいくつかある。例えば Derbyshire (2003), Rockmore (2005), (Sabbagh 2003a, 2003b), du Sautoy (2003).本 Edwards (1974), Patterson (1988), Borwein et al. (2008), Mazur & Stein (2015) は数学的な入門を与え、Titchmarsh (1986), Ivi? (1985), Karatsuba & Voronin (1992) は進んだモノグラフである。さらに、John Forbes Nash Jr. と Michael Th. Rassias によって編集された本 Open Problems in Mathematics は、Alain Connes によるリーマン予想に関する広範なエッセイを取り上げている[2][3]
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目次
1.概要
2.リーマンゼータ関数
3.歴史
4.帰結
├4.1.同値な命題
├4.2.素数の分布
├4.3.数論的関数の増大
├4.4.リンデレーフ予想とゼータ関数の増大
├4.5.素数の間隔が大きいことの予想
├4.6.リーマン予想に同値な主張
├4.7.一般リーマン予想の帰結
└4.8.排中律
5.一般化と類似物
└5.1.ディリクレの L 級数と他の代数体
6.証明の試み
7.零点の位置
└7.1.零点の個数
8.臨界線上の零点
9.真偽の議論
10.関連項目
11.脚注
├11.1.
└11.2.出典
12.参考文献
13.外部リンク

1. Bombieri 2000.
2. Nash, J. F.; Rassias, M. Th. (2016). Open Problems in Mathematics. Springer, New York. 
3. Connes, Alain (2016). “An Essay on the Riemann Hypothesis”. In: Open Problems in Mathematics (J. F. Nash Jr. and M. Th. Rassias, eds.), Springer: 225?257. doi:10.1007/978-3-319-32162-2_5. 

出典:Wikipedia
2017/08/01 10:30
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